Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Diposting pada

Contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya – Bagi kalian yang sedang menduduki bangku sekolah khususnya kelas 11 pasti tidak asing dengan materi yang satu ini. Yap, untuk materi yang akan kalian ketahui kali ini ialah materi induksi matematika.

Dengan menggunakan induksi matematika, kalian dapat mencari sebuah pembuktian kebenaran suatu pernyataan yang berhubungan dengan matematika. Pernyataan ini berisikan bilangan asli dan bukan untuk menemukan rumus maupun formula baru.

Apa itu Induksi Matematika?

Induksi matematika merupakan sebuah pembuktian terhadap sesuatu dalam matematika. Secara rinci induksi matematika adalah metode untuk membuktikan sifat pada bilangan asli n bahwa mempunyai nilai yang benar terhadap nilai n yang lebih besar atau sama besar dengan bilangan asli.

Lanjutkan Membaca

Dalam prinsip induksi matematika, misalkan P(n) merupakan sifat yang mempunyai definisi n adalah nilai asli dan n merupakan bilangan asli tertentu maka:

• P(n) mempunyai nilai yang benar
• Bila sebarang bilangan asli 𝑘 ≥ ğ‘Ž dan 𝑃(𝑘) bernilai benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.

Sehingga untuk pernyataan sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ ğ‘Ž, 𝑃(𝑛) bernilai benar. Untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang induksi matematika, kalian dapat mengerjakan contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya.

Baca Ini Juga  Tempat dan Cara Download Aplikasi Versi Lama di HP Android Terbaru

Penerapan Induksi Matematika

Dalam penerapannya induksi matematika terbagi menjadi 3 yaitu deret (rumus jumlah barisan), keterbagian dan ketidaksamaan. Prinsip ini ada dalam contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya.

• Rumus jumlah barisan (Deret)

Kalian harus memahami beberapa hal tentang deret bilangan yaitu:
Jika P(n) = u1 + u2 + u3 + … + un = Sn , maka
P(1) = u1 = S1
P(k) = u1 + u2 + u3 + … + uk = Sk
P(k + 1) = u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1

• Keterbagian

Maksud keterbagian dalam induksi matematika yaitu nilai akan habis dalam pembagian.

Sehingga untuk pernyataan “a habis dibagi b” mempunyai sinonim dengan:
• a kelipatan b
• b faktor dari a
• b membagi a

Jika p habis kalian bagi a,q lalu habis setelah pembagian a, maka (p + q) juga akan habis kalian bagi untuk a.
Sebagai contoh, 4 habis kalian bagi 2 dan 6 habis kalian bagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis setelah dibagi 2.

• Ketidaksamaan

Bagi ketidaksamaan terdapat sifat-sifat transitif seperti berikut:

a > b > c ⇒ a > c atau a < b < c ⇒ a < c
a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
a < b ⇒ a + c < b + c atau a > b ⇒ a + c > b + c

Baca Ini Juga  Tabel Pinjaman Bank Riau Kepri Terbaru

Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Berikut ini contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya.

1. Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.
A. 1. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Jawaban:

Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan
𝑃(𝑘) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan menunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
𝑃(𝑘 + 1) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)
Dari ruas kiri P(k + 1) mendapat
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘) + +2(𝑘 + 1)
= 𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
= (𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)

Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif
selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat kalian selesaikan, menurut prinsip induksi matematika kalian telah menunjukkan bahwa 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 =𝑛(𝑛 + 1) untuk sebarang bilangan asli n.

B. 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑛 − 3) = 3𝑛² untuk sebarang bilangan asli 𝑛

Baca Ini Juga  Payment test and Translate Service for Indonesian Customer

Jawaban:

Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan
𝑃(𝑘) = 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑘 − 3) = 3𝑘²
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan menunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
𝑃(𝑘 + 1) = 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑘 − 3) + (6(𝑘 + 1) − 3) = 3(𝑘 + 1)²
Dari ruas kiri P(k + 1) memperoleh
3+9+ 15 … +(6k- 3) (6(k+1)-3) = 3 +9 +15 … +(6k-3))+ (6(k+1) -3)
= 3k²+(6k +1) − 3
= 3k² + 6k + 3
=3(k²+2k+1)
=3(k+1)²

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif
selesai).Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat kalian selesaikan, menurut prinsip induksi matematika kalian telah menunjukkan bahwa 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑛 − 3) = 3𝑛² untuk sebarang bilangan asli n.

Contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabnnya bisa kalian dapatkan melalui paltform google maupun buku metematika kelas 11. Pembahasan dan contoh soal yang tertera semoga bisa bermanfaat untuk ilmu kalian.